Μαθηματικός Λογισμός

Γενικά

• Κωδικός: 16
• Εξάμηνο: 1o
• Επίπεδο Σπουδών: Προπτυχιακό
• Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό
• Γλώσσα διδασκαλίας και εξετάσεων: Ελληνικά
• Το μάθημα διατίθεται σε φοιτητές Erasmus
• Μέθοδοι Διδασκαλίας (Ώρες/εβδ.): Θεωρία (4) / Ασκήσεις Πράξεις (1)
• Μονάδες ECTS: 6
• Σελίδα μαθήματος: https://exams-sm.the.ihu.gr/enrol/index.php?id=98

Περιεχόμενα μαθήματος

Αξιωματική θεμελίωση του συστήματος των πραγματικών αριθμών. Αξιώματα πεδίου και διάταξης, το αξίωμα του ελαχίστου άνω φράγματος και η Αρχιμήδεια ιδιότητα. Μονότονες και φραγμένες πραγματικές συναρτήσεις, συνέχεια πραγματικής συνάρτησης, θεώρημα Bolzano, και θεώρημα ενδιάμεσης τιμής, θεώρημα ακραίας τιμής, ομοιόμορφη συνέχεια. Στοιχεία θεωρίας συνόλων, το σύστημα των πραγματικών αριθμών. Παράγωγος συνάρτησης, λογισμός παραγώγων και παράγωγοι ανώτερης τάξης, θεωρήματα Rolle, Μέσης Τιμής, και L’Hospital, τοπικά ακρότατα. Το ολοκλήρωμα Riemann, ιδιότητες ολοκληρώματος (προσθετικότητα, τριγωνική ανισότητα, γραμμικότητα), συνέχεια και παραγωγισιμότητα, ολοκλήρωμα στα σημεία συνέχειας της ολοκληρώσιμης συνάρτησης, ολοκληρωσιμότητα συνεχών συναρτήσεων, θεώρημα μέσης τιμής, αόριστο ολοκλήρωμα συνάρτησης, θεμελιώδες θεώρημα ολοκληρωτικού λογισμού. Τεχνικές ολοκλήρωσης (αλλαγή μεταβλητής, ολοκλήρωση κατά παράγοντες, κλπ.), ο λογάριθμος και η εκθετική συνάρτηση, γενικευμένα ολοκληρώματα, παραδείγματα και εφαρμογές. Υποσύνολα του R, σημεία συσσώρευσης, ακολουθίες πραγματικών αριθμών, μονότονες ακολουθίες, υπακολουθίες και κριτήριο σύγκλισης Cauchy, θεώρημα Bolzano-Weierstrass, θεωρήματα σύγκλισης ακολουθιών. Σειρές πραγματικών αριθμών, σειρές με θετικούς όρους, κριτήρια σύγκλισης και απόλυτης σύγκλισης σειρών. Θεώρημα του Taylor και σειρές Taylor.

Μαθησιακοί Στόχοι

Το μάθημα είναι σχεδιασμένο με σκοπό να παρέχει τα βασικά εργαλεία των ανώτερων μαθηματικών, περιλαμβάνοντας κυρίως στοιχεία διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού συναρτήσεων μιας μεταβλητής. Ιδιαίτερα, επικεντρώνεται στην αναλυτική παρουσίαση των
μαθηματικών εννοιών, θεωρημάτων και προτάσεων αλλά και στις τεχνικές επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με αυτά. Για το σκοπό αυτό, γίνεται εκτεταμένη χρήση παραδειγμάτων τα οποία βρίσκουν χρήση σε πρακτικές εφαρμογές από το πεδίο του/της μηχανικού.
Ως μάθημα υποβάθρου, προσφέρει στον/στη μηχανικό τα μαθηματικά εφόδια και τον τρόπο σκέψης ώστε να αναπτυχθεί η ικανότητά του/της να εκφράζει μαθηματικά και να αντιμετωπίζει μεθοδικά προβλήματα της πράξης.
Η συνεπής κι επιτυχής παρακολούθηση του μαθήματος έχει ως προσδοκώμενα μαθησιακά αποτελέσματα για τον φοιτητή/τη φοιτήτρια:
να επιτύχει την σταδιακή θεωρητική λογική αφαίρεση από τους πραγματικούς αριθμούς, στην έννοια της μεταβλητής, στον ορισμό της συνάρτησης, στην έννοια του διαφορικού.
να συνδέσει και να μπορεί να μελετήσει τις αναπαραστάσεις μιας συνάρτησης (αναλυτικός τύπος, γραφική παράσταση, περιγραφή).
να κατανοήσει θεωρητικά και στην πράξη τα βασικά θεωρήματα του διαφορικού λογισμού
να κατανοήσει την έννοια του ολοκληρώματος και να το συνδέσει με πρακτικές εφαρμογές
να αναπτύξει όλες τις απαραίτητες τεχνικές που σχετίζονται με την παραγώγιση και ολοκλήρωση
να αναγνωρίζει και να διακρίνει τις μεθόδους επίλυσης προβλημάτων που σχετίζονται με παραγώγιση και ολοκλήρωση συναρτήσεων,
να τον/την καταστήσει ικανό/ικανή να εφαρμόζει τις παραπάνω μεθόδους σε προβλήματα για μηχανικούς,
να αναλύει και να ερμηνεύει τα αποτελέσματα που προκύπτουν,
να μπορεί να παρακολουθεί, χωρίς σημαντικά κενά, την ύλη πιο εξειδικευμένων μαθημάτων του τμήματος.

Γενικές Ικανότητες

Αναζήτηση, ανάλυση και σύνθεση δεδομένων και πληροφοριών, με τη χρήση και των απαραίτητων τεχνολογιών
Αυτόνομη εργασία
Ομαδική εργασία
Σχεδιασμός και Διαχείριση Έργων
Προσαρμογή σε νέες καταστάσεις
Προαγωγή ας ελεύθερης, δημιουργικής και επαγωγικής σκέψης

Μέθοδοι Διδασκαλίας

Διαλέξεις πρόσωπο με πρόσωπο. Προβολή διαφανειών με υπολογιστή και χρήση πίνακα.

Αξιολόγηση Φοιτητών

Ελληνικά / Αγγλικά Τελικές Γραπτές Εξετάσεις. Κριτήρια αξιολόγησης: Εφαρμογή ορισμών, αλγορίθμων ή προτάσεων. Συνδυασμός και σύνθεση εννοιών και αποδεικτικών ή υπολογιστικών διαδικασιών. Ανάληψη πρωτοβουλιών για την ανάπτυξη στρατηγικών επίλυσης προβλημάτων.

Συνιστώμενη Βιβλιογραφία

1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ, SPIVAK MICHAEL
2. Γενικά Μαθηματικά – Απειροστικος Λογισμός τόμος Ι, Αθανασιάδης Χ. Ε., Γιαννακούλιας Ε., Γιωτόπουλος Σ.Χ.